1. Tugevusõpetus

Tugevusõpetuse põhitõed: koormused, vabadusastmed ja kinnitused

Koormused (loads)

Punktkoormus (point load) – koormus, mille toimeala on konstruktsiooni mõõtmetega võrreldes väga väike ja mida käsitletakse ühte punkti koondatuna. Kasutatakse ka jaotatud koormuse asendamisel, kui Saint‑Venant’i printsiibi eeldused on täidetud.

Jaotatud koormus (distributed load) – võib mõjuda ruumis (p(x,y,z), N/m³), pinnal (p(x,y), Pa) või joone ulatuses (p(x), N/m). Varda analüüsis taandatakse ruumi- ja pindkoormus sageli joonkoormuseks; selle tulemjõud on koormusepüüriala ja rakenduspunkt on pindala raskuskeskmes.

Momendid (moments) – pöördemomendid ehk jõupaarid, mida käsitletakse eraldi koormustena (nt pöördemoment telje suhtes).

Staatiline vs dünaamiline koormus – staatilise koormuse korral ei muutu koormus ajas oluliselt; dünaamilise korral tuleb arvestada inertsijõude. Käesolevas aines keskendutakse peamiselt staatilistele koormustele.

  

Kinnitused ehk sidemed (Constraints)

Liikumatu liigendtugi (pinned) – takistab kolme siiret, lubab pöördumist; tekitab kolm reaktsioonjõudu.

Kinnistugi (fixed) – takistab kaht siiret ja pöörlemist; tekitab kaks reaktsioonjõudu ja ühe reaktsioonmomendi.

Tähelepanu: kui arvutusskeemis valitud kinnitused on tegelikust olukorrast jäigemad (st eemaldavad rohkem vabadusastmeid), võib tugevusarvutus anda liialt optimistliku pildi, sest fikseeritud koormatud keha talub koormust paremini.

Vali kinnitused nii, et need peegeldaksid realistlikult konstruktsiooni tugi- ja ühendustingimusi. Oluline on ka jõu rakenduspunkt ja rakenduse nurk pinnanormaali või konstruktsiooni suhtes – sama jõud tekitab erineva pingevälja sõltuvalt rakendusasendist.

 

Vabadusastmed (degrees of freedom, DOF)

Vabadusaste on keha liikumise (või deformeerumise) iseseisev komponent, mida saab kirjeldada ja mida sidemed, kinnitus või kontakt võivad piirata.

Intuitsiivselt: igale vabadusastmele vastab iseseisev nupp, mida saaks eraldi liigutada, ilma et teisi nuppe peaks samal hetkel tingimata keerama.

Praktilises tugevusõpetuses ja LEM‑is on tavaks eristada:

• ·         joonsiirded (keha nihkumine ruumis) ja
• ·         nurksiirded (pöörded) (keha orientatsiooni muutus).

Selle jaotuse mõte on, et nihutamine ja pööramine on fundamentaalselt erinevad liikumisviisid, mida sidemed piiravad erinevalt (näiteks rulliktoed piiravad üht joonsiiret, kuid lubavad pöörata; kinnistugi piirab nii joonsiirdeid kui pöördeid). See käsitlus on tugevusõpetuse ja ehitusmehaanika standardne alus ning seda kasutatakse ka Jürgensoni õpikus ja konspektides, kust olete seni skeemid ja tähistused leidnud.

Miks ruumilise (3D) jäiga keha puhul on neid kuus?

Mõtleme kehast kui jäigast objektist, mille kuju ja mõõtmed ei muutu (deformatsioone ei arvesta). Jäiga keha täielik olek ruumis on määratud:

• ·         Asukohaga (palume ette kujutada, et keha keskpunkt või referentsipunkt asetatakse ruumi)

o   Asukoht vajab kolme sõltumatut parameetrit (kolm vastastikku sõltumatut suunda), sest mis tahes punkti ruumis kirjeldamiseks kulub kolm arvu. See annab 3 vabadusastet joonsiireteks.

• ·         Orientatsiooniga (kuidas keha on ruumi suhtes pööratud)

o   Orientatsioon vajab samuti kolme sõltumatut parameetrit, sest keha saab pöörata kolme teineteisest sõltumatu pöörlemise viisi kaudu (võid mõelda kolmest järjestikusest pöördest ümber sõltumatute telgede; millised teljed ja mis järjekord on tehniline detail, oluline on, et orientatsiooni määramiseks kulub kolm sõltumatut suurust). See annab 3 vabadusastet nurksiireteks.

Kokku: 3 joonsiiret + 3 pöördet = 6 vabadusastet. See on geomeetriline tulemus, mis ei sõltu sellest, milliseid telgi või tähti (x‑y‑z, u‑v‑w jne) keegi valib. Teljed on vaid mugav kokkulepe ja vabadusastmete arv tuleneb asjaolust, et ruum on kolmemõõtmeline ja orientatsiooni kirjeldamiseks on vaja kolme sõltumatut suurust. Sama seletus on esitatud ka klassikalistes tugevusõpetuse tekstides (ehitusmehaanika, staatika) ning teie viidatud eestikeelsetes allikates, kus see sageli lahti kirjutatakse koos skeemide ja tähistega.

Miks see eristus (nihked vs pöörded) on inseneritöös oluline?

Sidemete/kinnituste modelleerimine. Iga tegelik side võtab kinni konkreetseid vabadusastmeid. Näiteks:

• Liikuv liigendtugi piirab ühe joonsiirde (libiseda ei saa selles sihis), kuid ei piira pöördumist.
• Liikumatu liigendtugi piirab kaks joonsiiret, kuid pöördumine on endiselt lubatud.
• Kinnistugi piirab kaks joonsiiret ja pöörlemise — seega kolm vabadusastet tasapinnalises skeemis (ruumis oleks vastav üldistus).

Need kirjeldused on standardsed ning neid kasutatakse nii käsitsi arvutustes kui LEM‑tarkvarades.

Tulemuste tõlgendamine

Millised siirded on lubatud ja millised mitte määrab ära toereaktsioonid, sisejõudude epüürid ja pingevälja. Kui paned mudelis liiga palju vabadusaste kinni, muutub süsteem jäigemaks, siirded vähenevad ja pinged jaotuvad teisiti, mis võib anda liialt optimistliku pildi kandevõimest.

Üleminek deformatsioonidega mudelitele. Kui keha pole enam jäik, siis lisanduvad vabadusastmed, mis kirjeldavad kuju muutumist (näiteks tala paindel on väljavõetud pöörde vabadusaste ristlõike pöördumiseks; koorik‑ ja plaadimudelites on nii membraani‑ kui painde vabadusastmed; tahkes kehas kasutatakse sõlmedes joonsiirdeid).

Kuid isegi siis kehtib see, et globaalsel tasemel kirjeldavad keha üldist liikumist endiselt kolm nihet + kolm pööret; ülejäänud vabadusastmed kirjeldavad deformatsiooni.

Märkus: Antud materjalide koostamisel on kasutatud Solid Edge'i abiinfot, Tugevusõpetuse aine raames koostatud konspekte ja järgmist allikat: Jürgenson, A. (1985). Tugevusõpetus. Tallinn: Valgus.

Õppematerjalides on kasutatud mõnel juhul ingliskeelseid termineid vaid seetõttu, et kasutatav tarkvara on inglisekeelne ja õppuritel on seeläbi parem arusaam, milliseid töökäske tarkvaras kasutada.

2. Lõplike Elementide Meetod (LEM)

LEM on arvutusmehaanika võte, millega reaalse konstruktsiooni pidevad väljad (siire, pinge, temperatuur) asendatakse diskreetse mudeliga. Objekt jaotatakse lõplikuks arvuks elementideks, mis on omavahel ühendatud sõlmedega. Igas elemendis kirjeldatakse siirde muutust kujufunktsioonidega, mis on tavaliselt lineaar-, ruut- või kuupolünoomid. Tulemuseks on lineaarne võrrandisüsteem, mille tundmatuteks on sõlmede siirded.

 Kõikide elementide jäikused koondatakse globaalseks maatriksiks ning koos koormuste ja rajatingimustega lahendatakse sõlmede siirded.

LEM ei muuda tugevusõpetuse põhiloogikat. Kehtivad jõudude ja momentide tasakaalud, kinnitused tekitavad reaktsioonijõud, ning vabadusastmete piiramine on vältimatu. Vale kinnitus või puuduva DOF-i tõttu singulaarne süsteem annab füüsikaliselt mõttetu tulemuse.

Praktikas:

• ·         Määra koormused (koondjõud, jaotatud koormus, momendid).
• ·         Määra kinnitused (millised siirded/pöörded on nullid).
• ·         Lahenda sõlmede siirded.
• ·         Arvuta reaktsioonijõud kinnitustes.
• ·         Arvuta elemendi sisejõud ja pinged.

 

Võrk/Võrgustik (Mesh)

Võrgustik on arvutuslik esitus objektist. Elementide kuju valik (1D varras/tala; 2D kolmnurk/nelinurk; 3D tetraeeder/heksaeeder) sõltub geomeetriast ja füüsikast. Võrgustik on uuritava keha jaotus elementideks. Elemendid on ühendatud sõlmedega. Sõlmes paiknevad vabadusastmed. LEM-is lahendatakse esmalt sõlmede siirded, seejärel tuletatakse sisejõud ja pinged elementides.

Elemendi sisemine loogika: kujufunktsioonid ja jäikus

Kujufunktsioonid seovad sõlmede siirded elemendi sisese siirdega. Valitud kujufunktsioon määrab, kui paindlikult element lubab kuju muutust. Iga elemendi jaoks tuletatakse jäikusmaatriks.

Elemendi jäikusmaatriks K väljendab seost F = K·d. Tala/varraste korral saadakse K klassikalistest seostest (pikke ja paine), üldjuhtudel numbrilise integreerimise teel. Elemendi valik sõltub geomeetriast, paksusest ja eeldatavast pingeseisundist.

Rajatingimused/piirtingimused (boundary conditions)

• Kinemaatilised (olulised): etteantud siirded/pöörded (nt täielik fikseerimine, sümmeetria).

• Staatilised (loomulikud): jõud/momendid, rõhud, jaotatud koormused.

• Segatingimused: kombinatsioon eelmistest.

Praktiline märkus: kui LEM‑mudelis valitud rajatingimused on tegelikkusest jäigemad (eemaldavad rohkem vabadusastmeid), võib mudel näidata väiksemaid siirdeid ja pingete ümberjaotust, mis tõstab näilist kandevõimet. Valik peab vastama reaalsele tugi‑ ja ühendusskeemile. Samuti mõjub tulemustele jõudude rakenduspunkt ja nurk pinnanormaali/ konstruktsiooni suhtes.

Jaotatud koormus → ekvivalentsed sõlmejõud

Jaotatud koormus asendatakse sõlmejõududega nii, et töö (või energia) jääb ekvivalentseks. Konsolltalal ja kahel toel talal on tuntud jaotusreeglid; tarkvara rakendab need automaatselt, kuid insener peaks teadma, mida eeldatakse.

Diskretiseerimise kvaliteet, võrgutihedus ja numeratsioon

Võrgutihedus peab olema suurem piirkondades, kus väljad muutuvad kiiresti (servad, avad, koormuse rakenduskohad). Sõlmede sobiv numeratsioon aitab vähendada globaalse maatriksi ribalaiust ning kiirendab lahendust. Praktikas tugineb hea diskretiseerimine inseneri kogemusele.

Von Mises pinge (Von Mises stress)

Simulatsioonitarkvaras kuvatakse sageli Von Mises (VM) pingeid, sest need võimaldavad hinnata, kas isotroopne metallmaterjal jõuab voolamiseni.

Von Mises pinge on skalaarsuurus, mis arvutatakse pingetensorist. Seda võib vaadelda kui sellist üheteljelist pinget, mis tekitaks sama moondeenergia nagu tegelik mitmeteljeline pingeseisund.

Kriteerium: σ_VM ≤ σ_vool. Kui ületad voolavuspiiri, siis lineaar-elastses mudelis ei kehti eeldused; reaalses kehas algab plastsus.

Oluline: σ_VM ei näita maksimaalset normaalpinget, pragude avanemist ega sobi habraste materjalide purunemise hindamiseks; habraste materjalide korral vaata peapingeid.

Mis on tarkvara “must kast” ja mis on kasutaja vastutus

Must kast: suurte maatrikssüsteemide koostamine ja lahendamine, numbrilised integratsioonid, optimeeritud lineaaralgebra.

Kasutaja vastutus: geomeetria, võrgutihedus, elemenditüüp, materjali omadused, koormused, piirtingimused ja tulemuste kontroll.

Tulemuste tõlgendamisel arvesta võrgutihedust ja koormuse/kinnituse idealiseeringuid; lokaalsed piigid võivad olla numbrilised artefaktid ega kajasta tegelikku olukorda.

Vaata ka pingevälja üldpilti ja tee võrgutundlikkuse kontroll.

Tulemused sõltuvad mudelist. Kontrolli reaktsioonijõudude tasakaalu ja võrdle võimalusel lihtjuhtude käsitsi (tala/varras) lahendustega.

Elemendi valik ja võrgutihedus mõjutavad täpsust rohkem kui analüüsi tüüp.

Ära unusta: LEM lahendab sõlmede siirded seejärel tuletatakse materjali pinged ja momendid.

 

Märkus: Antud materjalide koostamisel on kasutatud Solid Edge'i abiinfot, Lõplike elementide ja Matemaatilise modelleerimise õppeainete raames koostatud konspekte ja järgmisi allikaid:

Lahe, A. (2008). Lõplike elementide meetod. Tallinn.

Tsõganov, M. (2018). Raalprojekteerimise tarkvara Solid Edge FEM paketi juhend iseseisvaks tööks. Eesti Maaülikool, bakalaureusetöö.

Õppematerjalides on kasutatud mõnel juhul ingliskeelseid termineid vaid seetõttu, et kasutatav tarkvara on inglisekeelne ja õppuritel on seeläbi parem arusaam, milliseid töökäske tarkvaras kasutada.