Tugevusõpetuse ja LEM-analüüsi teooria

2. Lõplike Elementide Meetod (LEM)

LEM on arvutusmehaanika võte, millega reaalse konstruktsiooni pidevad väljad (siire, pinge, temperatuur) asendatakse diskreetse mudeliga. Objekt jaotatakse lõplikuks arvuks elementideks, mis on omavahel ühendatud sõlmedega. Igas elemendis kirjeldatakse siirde muutust kujufunktsioonidega, mis on tavaliselt lineaar-, ruut- või kuupolünoomid. Tulemuseks on lineaarne võrrandisüsteem, mille tundmatuteks on sõlmede siirded.

 Kõikide elementide jäikused koondatakse globaalseks maatriksiks ning koos koormuste ja rajatingimustega lahendatakse sõlmede siirded.

LEM ei muuda tugevusõpetuse põhiloogikat. Kehtivad jõudude ja momentide tasakaalud, kinnitused tekitavad reaktsioonijõud, ning vabadusastmete piiramine on vältimatu. Vale kinnitus või puuduva DOF-i tõttu singulaarne süsteem annab füüsikaliselt mõttetu tulemuse.

Praktikas:

• ·         Määra koormused (koondjõud, jaotatud koormus, momendid).
• ·         Määra kinnitused (millised siirded/pöörded on nullid).
• ·         Lahenda sõlmede siirded.
• ·         Arvuta reaktsioonijõud kinnitustes.
• ·         Arvuta elemendi sisejõud ja pinged.

 

Võrk/Võrgustik (Mesh)

Võrgustik on arvutuslik esitus objektist. Elementide kuju valik (1D varras/tala; 2D kolmnurk/nelinurk; 3D tetraeeder/heksaeeder) sõltub geomeetriast ja füüsikast. Võrgustik on uuritava keha jaotus elementideks. Elemendid on ühendatud sõlmedega. Sõlmes paiknevad vabadusastmed. LEM-is lahendatakse esmalt sõlmede siirded, seejärel tuletatakse sisejõud ja pinged elementides.

Elemendi sisemine loogika: kujufunktsioonid ja jäikus

Kujufunktsioonid seovad sõlmede siirded elemendi sisese siirdega. Valitud kujufunktsioon määrab, kui paindlikult element lubab kuju muutust. Iga elemendi jaoks tuletatakse jäikusmaatriks.

Elemendi jäikusmaatriks K väljendab seost F = K·d. Tala/varraste korral saadakse K klassikalistest seostest (pikke ja paine), üldjuhtudel numbrilise integreerimise teel. Elemendi valik sõltub geomeetriast, paksusest ja eeldatavast pingeseisundist.

Rajatingimused/piirtingimused (boundary conditions)

• Kinemaatilised (olulised): etteantud siirded/pöörded (nt täielik fikseerimine, sümmeetria).

• Staatilised (loomulikud): jõud/momendid, rõhud, jaotatud koormused.

• Segatingimused: kombinatsioon eelmistest.

Praktiline märkus: kui LEM‑mudelis valitud rajatingimused on tegelikkusest jäigemad (eemaldavad rohkem vabadusastmeid), võib mudel näidata väiksemaid siirdeid ja pingete ümberjaotust, mis tõstab näilist kandevõimet. Valik peab vastama reaalsele tugi‑ ja ühendusskeemile. Samuti mõjub tulemustele jõudude rakenduspunkt ja nurk pinnanormaali/ konstruktsiooni suhtes.

Jaotatud koormus → ekvivalentsed sõlmejõud

Jaotatud koormus asendatakse sõlmejõududega nii, et töö (või energia) jääb ekvivalentseks. Konsolltalal ja kahel toel talal on tuntud jaotusreeglid; tarkvara rakendab need automaatselt, kuid insener peaks teadma, mida eeldatakse.

Diskretiseerimise kvaliteet, võrgutihedus ja numeratsioon

Võrgutihedus peab olema suurem piirkondades, kus väljad muutuvad kiiresti (servad, avad, koormuse rakenduskohad). Sõlmede sobiv numeratsioon aitab vähendada globaalse maatriksi ribalaiust ning kiirendab lahendust. Praktikas tugineb hea diskretiseerimine inseneri kogemusele.

Von Mises pinge (Von Mises stress)

Simulatsioonitarkvaras kuvatakse sageli Von Mises (VM) pingeid, sest need võimaldavad hinnata, kas isotroopne metallmaterjal jõuab voolamiseni.

Von Mises pinge on skalaarsuurus, mis arvutatakse pingetensorist. Seda võib vaadelda kui sellist üheteljelist pinget, mis tekitaks sama moondeenergia nagu tegelik mitmeteljeline pingeseisund.

Kriteerium: σ_VM ≤ σ_vool. Kui ületad voolavuspiiri, siis lineaar-elastses mudelis ei kehti eeldused; reaalses kehas algab plastsus.

Oluline: σ_VM ei näita maksimaalset normaalpinget, pragude avanemist ega sobi habraste materjalide purunemise hindamiseks; habraste materjalide korral vaata peapingeid.

Mis on tarkvara “must kast” ja mis on kasutaja vastutus

Must kast: suurte maatrikssüsteemide koostamine ja lahendamine, numbrilised integratsioonid, optimeeritud lineaaralgebra.

Kasutaja vastutus: geomeetria, võrgutihedus, elemenditüüp, materjali omadused, koormused, piirtingimused ja tulemuste kontroll.

Tulemuste tõlgendamisel arvesta võrgutihedust ja koormuse/kinnituse idealiseeringuid; lokaalsed piigid võivad olla numbrilised artefaktid ega kajasta tegelikku olukorda.

Vaata ka pingevälja üldpilti ja tee võrgutundlikkuse kontroll.

Tulemused sõltuvad mudelist. Kontrolli reaktsioonijõudude tasakaalu ja võrdle võimalusel lihtjuhtude käsitsi (tala/varras) lahendustega.

Elemendi valik ja võrgutihedus mõjutavad täpsust rohkem kui analüüsi tüüp.

Ära unusta: LEM lahendab sõlmede siirded seejärel tuletatakse materjali pinged ja momendid.

 

Märkus: Antud materjalide koostamisel on kasutatud Solid Edge'i abiinfot, Lõplike elementide ja Matemaatilise modelleerimise õppeainete raames koostatud konspekte ja järgmisi allikaid:

Lahe, A. (2008). Lõplike elementide meetod. Tallinn.

Tsõganov, M. (2018). Raalprojekteerimise tarkvara Solid Edge FEM paketi juhend iseseisvaks tööks. Eesti Maaülikool, bakalaureusetöö.

Õppematerjalides on kasutatud mõnel juhul ingliskeelseid termineid vaid seetõttu, et kasutatav tarkvara on inglisekeelne ja õppuritel on seeläbi parem arusaam, milliseid töökäske tarkvaras kasutada.